Escrito por Kevin Silva
Un fractal es un objeto semigeometrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.
En 1982, el famoso reconocido padre de los fractales, Mandelbrot, publica un nuevo libro, con gráficos espectaculares creados con la tecnología informática que, por aquel entonces, estaba a su disposición: “The Fractal Geometry of Nature”, de la editorial W.H. Freeman Co., Nueva York.
En este libro Mandelbrot propone una definición de fractal, pero a la vez reconoce que la definición no incluye ciertos conjuntos que, por otras razones, deben incluirse en la categoría de fractales: “Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión fractal es estrictamente mayor que su dimensión topológica“.
Después de más de veinte años, se han propuesto otras muchas definiciones que también se aproximan, pero hasta ahora no existe ninguna comúnmente aceptada.
¿Cómo reconocer si un objeto es un fractal?
Esta es quizás la pregunta de interés por responder. Pero la formulación a la pregunta solo tiene sentido si contamos con una definición de lo que es un fractal. Para nuestra sorpresa, actualmente hay en uso diferentes definiciones de fractal — dependiendo del concepto de dimensión que utilizamos — pero cada una de estas definiciones tiene como base dos nociones: Autosimilaridad y Dimensión.
Una cualidad adicional la constituye la simplicidad de las funciones que se involucran para generar estructuras extraordinariamente complejas y hermosas. Ser autosimilar significa que, cuando examinamos pequeñas porciones del objeto, la imagen que vemos no es más que una copia de nuestro objeto inicial. Antes de ver algunos fractales, tomemos un objeto de la naturaleza que sin ninguna matemática nos deja entrever lo que es ser autosimilar: el brócoli.
La cabeza de esta hortaliza está formada por trozos o gajos que, cuando los desprendemos y comparamos con todo el brócoli, son prácticamente iguales, excepto que hemos cambiado la escala, es decir, varían en tamaño (Véase fig. 1). Sobre estos trozos más pequeños podemos desprender de nuevo trozos con la característica de recordarnos a su antecesor y así sucesivamente hasta donde es físicamente posible manejar los desprendimientos. En una situación matemática idealizada este proceso debería continuar indefinidamente.
Ahora, el otro ingrediente en la definición de un fractal es la dimensión fractal. Este termino lo detallaremos mejor en otro apartado.
Para introducir problemas a futuro específicos relacionados con la geometría fractal, se listan a continuación las siguientes ideas:
Ideas a priori para atacar el problema de dimensionar y medir fractales.
- El cálculo y la estimación de la dimensión de Hausdorff y la medición de los conjuntos fractales son problemas importantes en la geometría fractal.
- Muchas veces no es tan fácil encontrar el conjunto abierto a conjuntos autosimilares que satisfagan la condición de conjunto abierto. Esto puesto que, para un conjunto de esta naturaleza que satisface esta condición, la dimensión autosimilar coincide con la dimensión de Hausdorff.
- No hay muchos resultados sobre el cálculo y la estimación de las medidas de Hausdorff de los fractales lineales, excepto para algunos como el conjunto de Cantor. La medida de Hausdorff del conjunto de fractales ramificados es aún desconocida.
- Hay que estudiar métodos para estimar la medida con límites: inferior y superior.
En los resultados de Trace results on domains with self-similar article fractal boundaries by Y. Achdou and N. Tchou desarrollan un nuevo método para estimar los límites superior e inferior de la medida de Hausdorff de la junta de Sierpinski. Queremos mostrar un resultado similar pero para un dominio ramificado que denotamos por Γ∞:
Aprovechando la misma idea para estimar la medida de la junta de Sierpinski, intentaremos encontrar 𝜙(𝑑) que se ajuste a nuestro resultado. Por otro lado, como resultado final, aprovechando la forma fractal del árbol bronquial de los mamíferos, aplicamos la técnica de Box Couting para calcular la dimensión autosimilar a diferentes escalas en dos especies de mamíferos a nivel local (Puerto Rico).
El árbol bronquial de los mamíferos está estructurado en torno a un flujo de aire adecuado hacia los alvéolos (véase fig. 2), una producción mínima de entropía en la mecánica respiratoria y unos costes mínimos de material y energía.
Sin embargo, las vías respiratorias son sólo una parte del sistema respiratorio y, por tanto, su forma debe adaptarse a las funciones de todo el sistema, resolviendo el problema de distribuir el volumen de aire inhalado en una gran superficie en un volumen limitado. Así pues, la topología de los bronquios muestra las características de un invasor del espacio con progresiva bifurcación y disminución del diámetro bronquial, lo que está relacionado con la forma fracturada.
Referencias
Y. Achdou and N. Tchou, “Trace results on domains with self-similar fractal boundaries,” Journal de Mathematiques Elsevier, 2008.
T. N. Achdou, Yves and T. Deheuvels, “Comparison of different definitions of traces for a class of ramified domains with self-similar fractal boundaries,” Potential Analysis, Springer Verlag, vol. 40, no. 4, pp. 345–362, 2014.
Urgiles, B. Los fractales y su relación con la computación. una revisión documental. Escuela Superior Politécnica de Chimborazo, Riobamba. Polo del Conocimiento: Revista científico – profesional 5 (2020), 209–225.
